Dibujante y caricaturista en varias publicaciones nacidas a principio del siglo XX que luego se convirtió en gran impulsor de exposiciones de pintura y de actividades artísticas en las Islas Baleares.
Nacido en Ibiza en 1876, se trasladó a Palma cuando contaba 12 años. Allí cursó estudios artísticos en la Escuela de Bellas Artes de Palma, que luego amplió con estudios de arquitectura en Barcelona, ciudad a la que se trasladó al cumplir la veintena. No culminó la carrera de arquitecto porque prefirió dedicarse a dibujar, apareciendo su primer dibujo en la revista satírica La Tomasa, en 1887. A partir de entonces fue sirviendo caricaturas para cabeceras como ¡Cu-cut! y El Rector de Vallfogona, en ambas desde 1902. Junto con los también humoristas Santiago Rusiñol y Ramón Casas formó el grupo "La Cueva Artística", y otro grupo artístico con Lluís Bagaria, Rafel Martínez Padilla, Joan Ventosa, Eugeni d'Ors y el joven Picasso. Sus ilustraciones y caricaturas políticas comenzaron a aparecer desde 1903 en L'Esquella de la Torratxa y La Campana de Gràcia, desde 1903. Empezó firmando sus dibujos como "Costa" y en ciertas ocasiones, también como "Sancho" y "Caray de H". Pero en 1903 utilizó en L'Esquella de la Torratxa su seudónimo más característico, "Picarol", el cual mantuvo a lo largo de los casi treinta años de su carrera como dibujante.
Casado y afincado en Barcelona desde 1904, participó en tertulias literarias, abordó investigacoines arqueológicas, mantuvo un establecimiento de antigüedades (Spanish Shop. Argelles & Costa, en Chicago, en 1927), e inauguró en Palma las longevas galerías para exposiciones Galerías Costa. En 1929, Costa abandonó Barcelona para fijar su residencia en Palma, donde se dedicó intensamente a dibujar al tiempo que cuidaba sus Galerías, desde donde promocionó artistas de todo el mundo pero con especial mimo por los locales, como la llamada Escuela de Mallorca. También fue diseñador urbanista, pues de él partieron los planos para la Cala d'Hort (hoy Cala d'Or) de típico "estilo ibizenco". Así mismo, Josep Costa fue uno de los autores de las primeras guías turísticas modernas de las Baleares: La Guía Gráfica Costa de Palma de Mallorca (1929) y la Guía Gráfica Costa de Ibiza (1936), impulsando con su esfuerzo el turismo en la zona.
Fue muy apreciado como tasador y como experto en obras de arte. En los años cuarenta y cincuenta fue el encargado de las obras y de la decoración del Palau March en Palma. Y en 1948 fue el editor, con Lluís Ripoll, de una colección titulada La Pintura Mallorquina en el Siglo XIX, colaborando con textos desde entonces y hasta su muerte en libros y diarios de las islas, como: El Resumen de Ibiza, El Heraldo de Ibiza, Diario de Ibiza, El Día de Palma, Santanyí de Mallorca y Diario de Mallorca.
El premio establecido en 1975 por el Círculo de Bellas Artes de Palma lleva su nombre.